Wiskundigen hebben het relatief makkelijk met taal. Tenminste, de groep die zich bezig houdt met wiskunde die geen relatie heeft met de realiteit, de zuivere wiskunde. Denk aan iets als sudoku. In essentie is dat een handvol regels waaruit patronen op een papier voortvloeien. Maar de regels noch patronen zeggen iets over de realiteit, zoals natuurkundige regels wel doen. Die gaan immers over vallende ballen, vloeistofstromen, de sterkte van hout, enz.
Goed, wiskundigen hebben het dus makkelijk. Ze kunnen namelijk een eigen mini-wereld scheppen, zoals sudoku. Bij zo'n eigen wereld horen net als bij de echte begrippen. In de praktijk worden bestaande en nieuwe begrippen gebruikt. Bijvoorbeeld een bestaand als “verzameling” en een nieuw als “kardinaliteit”. Vervolgens worden die begrippen heel precies gedefinieerd. Daarom is geen enkel wiskundeprobleem een taalprobleem.
Maar wiskundigen kunnen het wel moeilijk hebben als ze iets uit moeten leggen over zuivere (en sommige toegepaste) wiskunde. Want dan moeten ze van de gebruikte begrippen uitleggen wat ze precies inhouden. En om dat te begrijpen moet je al bijna wiskundige zijn. Een mooi voorbeeld betreft de 19e-eeuwse verzamelingenleer van Cantor, waaruit vaak dit resultaat populariserend genoemd wordt:
er zijn evenveel natuurlijke getallen als even getallen
De natuurlijke getallen zijn 1, 2, 3, ... en de even getallen 2, 4, 6, ... Zo op het eerste gezicht klopt dit niet. Je laat immers bij de even getallen alle oneven weg? Dus zijn er niet twee keer zo veel natuurlijke als even getallen? Maar een wiskundige legt dan uit dat het wel klopt: je kunt immers alle natuurlijke getallen paren aan een even getal. Bijvoorbeeld zo: (1, 2), (2, 4), (3, 6), ... Dat klopt.
Wat hier voor verwarring zorgt is dat het alledaagse “evenveel” gebruikt wordt, wat geldt voor eindige aantallen. Zoals in “ik heb evenveel vingers als tenen”. Cantor nam de vrijheid om de paringsdefinitie voor “evenveel” - die vanzelfsprekend is voor eindige verzamelingen - ook te gebruiken voor oneindige verzamelingen. En wat bleek: er ontstonden geen tegenstrijdigheden en de eruit volgende wiskunde was interessant. Dat was voldoende bestaansgrond voor de verzamelingenleer. Dat het contra-intuïtief en niet realistisch was werd door de meeste wiskundigen niet erg gevonden. We hebben al gezien dat een wiskundige zijn eigen wereld kan scheppen. Het is genoeg als die klopt. Je kunt het ook zo zien: wiskunde kent een ander waarheidscriterium dan iets als natuurkunde, dat de realiteit als onderwerp heeft.
Een niet populariserende wiskundige zou bovenstaand resultaat trouwens kunnen formuleren als
de kardinaliteit van de verzameling van de natuurlijke getallen is even groot als die van de even getallen
Maar hiermee is hij van de regen in de drup beland. Hij wordt evenmin begrepen als zijn populariserende collega.
Filosofen hebben het probleem dat het lijkt (of is) alsof er alleen maar loze filosofische problemen zijn. Wiskundigen kunnen soms moeilijk hun problemen in gewonemensentaal uitleggen. Hebben natuurkundigen ook taalproblemen? Jawel: gisteren liep ik er op mijn beurt tegen eentje op. Het had te maken met het begrip "frequentie".
Als een wiel 2 rondjes per seconde draait, dan kun je natuurkundig zeggen dat het een frequentie van 2 Hz heeft. Hoe harder het draait, hoe hoger dit getal. Als het de andere kant op draait wordt het -2 Hz, hoe harder hoe lager. Stilstand is 0 Hz. Ik moest een aantal frequenties verdelen in lage en hoge frequenties. Laag is voor mij rond de 0 Hz, hoog richting bijv. 100 Hz maar ook -100 Hz. Maar nee, met laag werd hier richting -100 Hz bedoeld, met hoog richting +100 Hz. Ik had de getallen teveel betekenis gegeven, terwijl ik ze als alleen maar getallen had moeten zien. Lage en hoge getallen, die niet iets betekenen als langzaam en snel draaien.
Natuurkundigen moeten dus uitkijken of hun taal betrekking heeft op de "echte" realiteit of die van de wiskunde. Wiskundigen hebben dit dilemma niet. Er is een aardig raadsel, dat een indicatie kan geven in welke mate u de denktrant van een wiskundige heeft (uit “Getallen zijn je beste vrienden” van Vincent van der Noort):
Een komkommer weegt 200 gram en bestaat voor 99 % uit water. De volgende dag is een deel van het water verdampt en bestaat hij nog maar voor 98 % uit water. Hoeveel weegt de komkommer nu?
Pas op: hieronder staat het antwoord.
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Antwoord:
De komkommer weegt nu 100 gram. Als u niet verder dacht dan dit, dan heeft u de denktrant van een wiskundige. Wiskundigen trekken zich weinig aan van de realiteit (context). Maar als u zich de vraag stelde hoe het kan dat er in een dag 100 gram water uit de komkommer verdampte, dan bent u meer op de realiteit gericht, zoals een natuurkundige.
